Speaker
Description
Według mechaniki Lagrange'a problem określenia toru ruchu cząstki sprowadza się do rozwiązania problemu wariacyjnego, tzn. znalezienia tej krzywej w przestrzeni konfiguracyjnej, która ekstremalizuje funkcjonał działania $S$, przy założeniu zerowej wariacji na jej końcach. W tym sformułowaniu funkcjonał przyjmuje formę
$$S=\int \mathcal{L}(q,\dot{q},t)\,\mathrm{d}t$$
gdzie $\mathcal{L}$ jest funkcją Lagrange'a, a krzywa spełnia równania Eulera-Lagrange'a: $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}}=0$$ W najprostszym przypadku funkcja Lagrange'a przyjmuje postać $\mathcal{L}=\,(\text{energia kinetyczna})-(\text{energia potencjalna})$. Podejście to sprawdza się bardzo dobrze do opisu układów zachowawczych. Na gruncie geometrii różniczkowej istnieje możliwość przedstawienia opisu ruchu formalizmem Lagrange'a jako zerowych krzywych geodezyjnych w przestrzeni konfiguracyjnej, rozszerzonej o 2 dodatkowe wymiary, $u$ i $w$, z których pierwszy gra rolę czasu, a drugi działania w oryginalnej przestrzeni, posiadającej metrykę pseudoriemannowską, zwaną metryką Brinkmanna. Procedura geometryzacji równań ruchu nosi nazwę podniesienia Eisenharta [1]. W oryginalnym sformułowaniu zakłada ona, że lagranżjan jest funkcją jedynie położeń i prędkości uogólnionych. W ten sposób metryka Brinkmanna zależy w tym przypadku jedynie od współrzędnych w przestrzeni konfiguracyjnej. Opis dyssypatywnych układów dynamicznych może być zrealizowany np. poprzez wprowadzenie lagranżjanów zależnych jawnie od czasu. W większości przypadków lagranżjany te nie będą miały prostej formy różnicy energii kinetycznej i potencjalnej. Podniesienie Eisenharta zostało uogólnione na ten przypadek w [2], a metryka Brinkmanna zależy w tym przypadku również od zmiennej $u$. Innym podejściem do opisu układów dyssypatywnych jest formalizm Herglotza [3]. Jest on uogólnieniem formalizmu Lagrange'a, który dopuszcza lagranżjany zależne w jawny sposób od zmiennej działania. Krzywa będąca torem ruchu cząstki spełnia wtedy uogólnione równania Lagrange'a, tzw. równania Herglotza. Udało się dowieść, że przypadek, gdy metryka Brinkmanna zależy również od zmiennej $w$, odpowiada podniesieniu układu opisanego formalizmem Herglotza. Szczególnie ważnym wynikiem płynącym z badań jest powiązanie symetrii podnoszonego układu z konforemnymi transformacjami w układzie podniesionym, a co za tym idzie, powiązanie uogólnionego ładunku Noether w wyjściowym układzie z konforemnymi wektorami Killinga w rozszerzonej przestrzeni.
References
[1] L. Eisenhart, Ann. Math. 30 (1928), 591;
[2] M. Cariglia, C. Duval, G. Gibbons, P. Horvathy, Ann. Phys. 373 (2016), 631;
[3] G. Herglotz, Lectures at the University of Göttingen, Göttingen 1930;
